�������� การเขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์ระหว่างสิ่งต่างๆ นั้นอาจเป็นได้ว่าคนสองคน�เขียนกราฟแสดงความสัมพันธ์อันเดียวกัน�แต่ได้กราฟที่ต่างกัน เช่น�ถ้าคนสี่คน ก ข ค ง ต่างก็รู้จักกันทั้งหมด� และมีอยู่คนเดียวในสี่คน คือ ก ที่รู้จักกับ จ อีกคนหนึ่ง�เราอาจแสดงการรู้จักกันของคนเหล่านี้ได้โดยใช้จุดแทนคน แล้วลากเส้นโยงจุดซึ่งแทนคนที่รู้จักกันเป็นคู่ๆ ไป
��������ในกราฟรูปที่สองนี้�ขอให้คิดเสียว่า เป็นกราฟซึ่งสร้างขึ้นในสามมิติ เส้นซึ่งโยง�ก�กับ�ค�และ ข กับ ง นั้นมิได้ตัดกัน�แต่ข้ามและลอดซึ่งกันและกัน ดังเช่นสะพานกับแม่น้ำ�อย่างไรก็ตาม�ในการศึกษาเกี่ยวกับกราฟ�เราศึกษาโดยการเขียนรูปลงบนแผ่นกระดาษ�(หรือแผ่นอย่างอื่น)� ดังนั้นบางครั้งเราอาจจำยอมเขียนให้เส้นกราฟตัดกัน�แต่ไม่นับว่าจุดตัดกันของเส้นกราฟเป็นจุดของกราฟของเรา
�������� กราฟทั้งสองนี้มีรูปต่างกัน�ทั้งๆ� ที่แต่ละรูปแสดงถึงสิ่งเดียวกัน อาจกล่าวได้ว่ากราฟสองรูปนี้�ต่างกันแต่เพียงรูปเท่านั้น�โดยสาระอันแท้จริงแล้ว�กราฟทั้งสองนี้เหมือนกัน�ในกรณีเช่นนี้เราจะกล่าวว่ากราฟทั้งสองเป็นเสมือนกราฟเดียวกัน
�������� การสร้างกราฟในสามมิติ�โดยไม่ให้เส้นกราฟตัดกันนั้นเราทำได้เสมอ แต่ถ้าจะจำกัดการเขียนให้เส้นกราฟทุกเส้นอยู่บนพื้นราบ�เราอาจทำได้สำหรับบางรูป และอาจทำไม่ได้สำหรับบางรูปก็ได้ กราฟแสดงการรู้จักของคนห้าคนในตัวอย่างข้างต้น�เป็นตัวอย่างของกราฟ��ซึ่งเราอาจเขียนลงบนพื้นราบ��โดยมิให้เส้นกราฟตัดกันเองเลยได้�โดยทั่วๆ ไปถ้ากราฟใดเป็นเสมือนกราฟเดียวกันกับกราฟรูปใดรูปหนึ่งบนพื้นราบซึ่งไม่มีเส้นคู่ใดตัดกันเลย�เราจะกล่าวว่ากราฟนั้นเป็นกราฟที่เขียนได้บนพื้นราบ� ดังนั้นกราฟแสดงการรู้จักกันของคนทั้งห้าในตัวอย่างข้างต้นจึงเป็นกราฟที่เขียนได้บนพื้นราบ�แต่ถ้าเราสมมุติเสียใหม่ว่าคนทั้งห้าต่างก็รู้จักกันทุกคู่��
��������ถ้าเราเขียนรูปของกราฟนี้เสียใหม่�โดยพยายามไม่ให้เส้นกราฟตัดกันเอง แต่จะมีเส้นกราฟคู่หนึ่งตัดกันเอง�ซึ่งเป็นความจริงที่อาจพิสูจน์ได้สำหรับกราฟรูปนี้�ส่วนกราฟบางรูป�เราอาจต้องยอมให้เส้นกราฟตัดกันเองมากกว่าคู่เดียวก็เป็นได้�เราเรียกจำนวนน้อยสุดที่เราจำต้องยอมให้เส้นกราฟตัดกันเองเมื่อเราเขียนบนพื้นราบว่า�จำนวนทางข้ามของกราฟนั้น�กราฟแสดงการรู้จักกันของคนห้าคนที่ต่างก็รู้จักกัน�จึงเป็นกราฟที่มีจำนวนทางข้ามเป็น�1 ของกราฟใดๆ� ที่เขียนได้บนพื้นราบก็คือกราฟที่มีจำนวนทางข้ามเป็น�0

จำนวนอ่าน : 749